LEYES DE EXPONENTES Y RADICALES

La potencia de un número es el producto de varios factores iguales a él.

El número que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia.

 Para señalar potenciación se escribe la base y en su parte superior derecha se escribe un número pequeño que indica cuántas veces se toma como factor dicha base; este número pequeño recibe el nombre de exponente.

LEYES DE LOS EXPONENTES: 

RADICACIÓN 

 La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite hallar la base correspondiente conociendo las potencias y el exponente.

El radicando también recibe el nombre de subradical.

LEYES DE RADICACIÓN 

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para hacer algunos cambios en los radicales, como son:

·         Sacar  factores del radical.

·         Introducir un factor al radical.

·         Racionalización de denominadores.

·         Expresar un radical como otro de orden (índice) menor.

Obtener factores del radical

Para simplificar un radical, se descompone o factoriza el radicando en factores cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Las raíces de estos factores se escriben fuera del radical y los factores “sobrantes” forman el nuevo radicando.

Es decir, simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión, para esto sacamos del radical los factores que sea posible, racionalizamos y expresamos el radical como otro de índice menor.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES 

Radicales semejantes

Son aquellos radicales que tienen el mismo índice de la raíz y el mismo radicando, sólo difieren en el signo y el coeficiente

Para efectuar operaciones de suma y resta algebraica de radicales, previamente los radicales deben simplificarse. La suma algebraica de radicales semejantes es un radical del mismo grado, cuyo coeficiente resulta de suma algebraica de los coeficientes numéricos.

En los siguientes ejemplos, se muestra la suma de radicales semejante:

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES 

Cuando se tienen radicales del mismo índice,  se utiliza la ley de los radicales:

Ejemplos:

 Cuando se tienen radicales de distinto índice:

 En este caso, los radicales se reducen al mínimo común índice y se multiplican como en el caso descrito anteriormente.

 La reducción de los radicales al mínimo común índice requiere obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los índices, que será el índice común; posteriormente, se eleva la cantidad del subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice del subradical.

 Para multiplicar un radical por una expresión que contiene más de un término o dos expresiones radicales, cada una con más de un término, se aplica la metodología o proceso empleado en la multiplicación de polinomios.

 DIVISIÓN DE RADICALES Cuando se tienen radicales del mismo índice,  se utiliza la ley de los radicales:

Cuando se tienen radicales de diferente índice:   Se expresan los radicales en forma exponencial, y posteriormente se aplican las propiedades de los exponentes.

RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR 

Las operaciones con fracciones que contienen un radical en el denominador se facilitan si antes de trabajar con ellas se racionaliza el denominador.

Racionalizar el denominador

Es un procedimiento que consiste en transformar una fracción que      contiene un radical en el denominador en otra fracción equivalente que no contenga ningún radical en el denominador.

 Los casos que se pueden presentar en la simplificación de estas expresiones son:

Cuando el radicando es una fracción cuyo denominador es un binomio que contiene radicales de índice 2.  En este caso, para racionalizarlo se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión de dicho denominador.

Operaciones básicas de polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x – 3                3.Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

    Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Ley de los signos matemática, suma, resta, multiplicación y división

 

Los signos de matematicas conocidos como +, -, x y /, son simbolos aritmeticos para indicar el estado de una operación matemática. Este tipo de operaciones son conocidas

como la adicion, sustraccion, multiplicacion y division. Así mismo también pueden englobar a los signos algebraicos en las operaciones.

La matemática es una de las ciencias que estudia todo lo relacionado con los números, figuras geométricas, símbolos y más. Las matemáticas se fueron creando con base a teorías, definiciones y leyes relacionadas entre sí. Es por ello que la mayoría de sus ideas fueron descubiertas de más de 4000 años. El desarrollo constante de la civilización ha sido en gran parte por las matemáticas y otras ciencias que se combinan.

Este tipo de ciencia es aquella que se encarga de descifrar y trabajar con elementos abstractos que estén relacionados entre ellos. Para ser utilizado se necesita el razonamiento lógico. Es por ello que su uso ha sido importante para el desarrollo en avances tecnológicos. Esta se divide en cuatros ramas como lo son la aritmética, álgebras, geometría y estadística. En la actualidad se utilizan las matemáticas como una herramienta para las vida cotidiana.

A pesar que se ha afirmado que en las matemáticas no existen leyes si se puede asegurar que existan normas o condiciones para poder realizar las operaciones sin ningún tipo de

  problema. En matemáticas existen leyes que se             

encargan de signos para realizar las operaciones más básicas como lo son suma, resta, división y multiplicación. Este tipo de ley es la que se ocupa del sentido de las operaciones, como se ejercen y la dirección de los signos. Es por ello que a continuación daremos un resumen de la ley de los signos de matemáticas.

 

 

 

 

 

Ley de los signos de matemática

Dicha ley de los signos está basada en la multiplicación. Es decir se rige para que los números se multipliquen como corresponda. La ley se basa en lo siguiente: si los signos son iguales el resultado debe ser positivo. En cambio si los signos son diferentes el resultado será negativo. En otras palabras podría decirse signos iguales se suman, signos diferentes se restan. Esto va relacionado en operaciones básicas con números enteros. Es por ello que esta forma o ley se debe memorizar de una forma simple para realizar otro tipo de operaciones.

Como antes se mencionó la ley de los signos va a enfocarse en los signos + y -, que se denomina más o positivo y menos de negativo. En el caso de las operaciones de suma y resta de números enteros el resultado positivo será representado por el signo + y el resultado negativo por el signo –. Sin embargo para la multiplicación y división va a corresponder el positivo si los dos números son positivos y negativo si se encuentra un número positivo y otro negativo. Así mismo se puede observar en operaciones de ecuaciones algebraicas.

En general la ley de los signos está relacionada con el resultado de una operación entre números positivos y negativos. Es decir el resultado entre dos numero positivos será positivo. De igual forma se puede decir que el resultado entre un número positivo y negativo será negativo. Por otro lado dos números negativos tendrán por resultado un número positivo. A continuación representamos una fórmula para la ley de los signos.

(+) . (+)= (+) (el resultado de una operación dos números positivos es positivo)
(-) . (-)= (+) (el resultado de una operación número negativo y uno negativo es positivo)
(+) . (-)= (-) (el resultado de una operación número positivo y uno negativo es negativo)
(-) . (+)= (-) (el resultado de una operación número negativo y uno positivo es negativo)

Ley de los signos para suma

Para ello existen algunas reglas:

§  En suma de números positivos con números positivos, el resultado es un número positivo.

§  De ser una suma de un número negativo con otro número negativo, el resultado es negativo.

§  Si se trata de un número positivo con un número negativo el signo en el resultado es del número entero de mayor valor.

Nota: se debe tomar en cuenta que si un número no posee un signo evidente este se sobre entiende que es de signo positivo + y no es necesario escribirlo. En el caso de ser un resultado negativo, se necesita escribir el signo negativo.

Ejemplos:

4 + 8= 12
(-5) + (-6)= -11
-7 + 4= -3

Ley de los signos para resta

En este caso la ley aplica en el mismo sentido de la suma, poniéndose en práctica las mismas reglas.

(+6) – (+2)= +4
(-7) – (-4)= -3

Ley de los signos para multiplicación y división

Para estas operaciones también existen diversas normas muy parecidas a la suma

§  En el caso de multiplicar o dividir un signo positivo con otros positivo el resultado es positivo.

§  De multiplicar o dividir un signo negativo con otro negativo el resultado será positivo.

§  Por último si se multiplica o divide un signo negativo con uno positivo o viceversa siempre será negativos, sin tomar en cuenta el mayor valor del número.

(+6) ÷ (+4)= +1,5
(-8) ÷ (-4)= +2
(+4) ÷ (-2)= -2

Importancia de la ley de los signos

Como se mencionó anteriormente las matemáticas son realmente importantes como una herramienta para la evolución y creación de nuevos teoremas y más. En nuestra vida cotidiana se utilizan en un sinfín de situaciones como el administrar dinero, calcular distancias, y el razonamiento matemático.

Conocer con exactitud las matemáticas y aprender sus normas y leyes se trata de crear habilidades para resolver problemas importantes en la vida. Las matemáticas y todo lo que las relaciones como lo son sus leyes son relevantes para el desarrollo de un país, la innovación, vanguardia y exigencias económicas. El dominio de las matemáticas es una cuestión que tiene que ver con grandes aspectos de todo el mundo.

Las matemáticas en algunas ocasiones suelen ser un poco difíciles de entender. Sin embargo se debe tomar en cuenta que en el caso de la ley de los signos es una muy sencilla de aplicar y de aprender. Se trata de adquirir y poner en práctica conocimientos importantes que desde siempre son enseñados en cualquier nivel educativo. Es por ello que no se debe dejar a un lado este tipo de aprendizaje y aprovechar todo las clases y teorías relacionadas a las mismas.

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